1. Qual a definição geométrica da operação de adição em curvas
elípticas sobre os números reais? (OBS: Há 4 casos).
A soma de dois pontos distintos P e Q pertencentes à curva, tal que P
≠ -Q. Os pontos P e Q definem uma reta, que interceptará o gráfico da
curva em exatamente mais um ponto, chamado –R. A soma em curvas
elípticas é definida de maneira que P + Q = R.
Considerando o caso em que Q = -P, a linha definida por estes pontos
é vertical e não corta o gráfico da curva em um terceiro ponto. É por esta
razão que o grupo inclui o ponto no infinito O. Por definição P + (-P) = O.
Considerando o caso em que Q = P, isto é, somar P a ele mesmo; se
yP ≠ 0, a tangente a curva no ponto P interceptará o gráfico em outro
ponto exatamente, chamado de –R. A operação de dobrar um ponto é
definida de maneira que P + P = 2P = R.
Finalmente dobrando o ponto P, no caso em que yP = 0, a reta
tangente sempre será vertical e não interceptará o gráfico da curva em
outro ponto. Neste caso, por definição, 2P = O e como conseqüência disso
3P = P, 4P = O, 5P = P, 6P = O etc.
2. O ponto (4,7) pertence à curva elíptica sobre os números
reais y² = x³ - 5x + 5 ?
Sim, pois a equação é verdadeira para x = 4 e y = 7.
(7)2= (4)3- 5(4) + 5
49 = 64 - 20 + 5
49 = 49
3. A curva elíptica y2 = x3 + 10x + 5 define um grupo sobre F17?
Não, pois 4a³ + 27b² mod p é igual 0.
4(10)³ + 27(5)² mod 17 = 4675 mod 17 = 0
4. O ponto (6,3) pertence à curva elíptica y2 = x3 + x + 7 sobre
F17?
Não, pois a equação não é verdadeira para x = 6 e y = 3.
(3)² mod 17 ≠ (6)² + 6 + 7 mod 17
9 mod 17 = 229 mod 17
9 ≠ 8
5. O ponto (g3, g6) pertence à curva elíptica y2 + xy = x3 + g2x2
+ g6 sobre F23?
Sim, pois a equação é verdadeira para x = g3 e y = g6.
(g6)2 + (g3)(g6) = (g3)3+ g2(g3)2 + g6
g5 + g2 = g2 + g + g6
(111) + (100) = (100) + (010) + (101)
(011) = (011)
g3 = g3
