Curvas elípticas formam um grupo, cuja operação básica é adição. A
adição de dois pontos em uma curva elíptica é definida geometricamente.
Seja um ponto P = (xP,yP) pertencente à curva, é definido o negativo
de P, a sua reflexão em relação ao eixo-x, ou seja, -P = (xP,-yP). Note que
para todo ponto P, o ponto -P também pertence à curva (curvas elípticas
são simétricas em relação ao eixo-x).
Agora, será definida a soma de dois pontos distintos P e Q
pertencentes à curva, tal que P ≠ -Q. Os pontos P e Q definem uma reta,
que interceptará o gráfico da curva em exatamente mais um ponto,
chamado -R. A soma em curvas elípticas é definida de maneira que P + Q =
R.
Considerando o caso em que Q = -P, a linha definida por estes pontos
é vertical e não corta o gráfico da curva em um terceiro ponto. É por esta
razão que o grupo inclui o ponto no infinito O. Por definição P + (-P) = O.
Como resultado desta equação, P + O = P. O ponto O é a identidade da
operação de adição.
Considerando o caso em que Q = P, isto é, somar P a ele mesmo; se
yP ≠ 0, a tangente a curva no ponto P interceptará o gráfico em outro
ponto exatamente, chamado de -R. A operação de dobrar um ponto é
definida de maneira que P + P = 2P = R.
Finalmente dobrando o ponto P, no caso em que yP = 0, a reta
tangente sempre será vertical e não interceptará o gráfico da curva em
outro ponto. Neste caso, por definição, 2P = O e como conseqüência disso
3P = P, 4P = O, 5P = P, 6P = O etc.
