Embora a descrição geométrica da adição ser um excelente método
para ilustrar esta operação sobre curvas elípticas, ela não é um modo
prático para implementação de computação aritmética. Fórmulas algébricas
são derivadas da definição geométrica para permitir uma implementação
eficiente.
Sejam dois pontos pertencentes à curva elíptica P = (xP,yP) e Q =
(xQ,yQ), tal que Q ≠ -P. A fórmula algébrica que define o ponto R, tal que R
= P + Q, é obtida pela resolução sistema abaixo, derivado da definição
geométrica:
yP² = xP² + axP + b
yQ² = xQ² + axQ + b
(yQ - yP)x + (xP- xQ)y + xQyP - xPyQ = 0 ( reta que passa por P e Q )
y² = x³ + ax + b
Resolvendo o sistema acima é obtido as coordenadas do ponto R.
xR = s2 - xP - xQ e yR = -yP + s(xP - xR),
onde s = (yP - yQ) / (xP - xQ)
(coeficiente angular da reta que passa por P e Q).
Seja um ponto P = (xP,yP), tal que yP ≠ 0. A fórmula algébrica que
define o ponto R, tal que R = 2P, é obtida pela resolução sistema abaixo,
derivado da definição geométrica.
yP² = xP² + axP + b
y = (3xP² + a)x/2yP + (2yP² - (3xP² + a))/2yP(reta que passa por P
com inclinação da derivada da curva neste ponto)
y² = x³ + ax + b
Resolvendo o sistema acima , as coordenadas do ponto R são obtidas.
xR = s2 - 2xP e yR = -yP + s(xP - xR),
onde s = (3xP2 + a) / (2yP ) (derivada da curva no ponto P)
