\section{Dedução da Função de Transferência do Sistema Completo}

O diagrama de blocos do XTC, desconsiderando o Regulador Autoajustável, é mostrado na Figura~\ref{fig:tcmSemRegulador}.
Nessa figura, $K(z)$  é a função de transferência do Controlador dada pela Equação~\ref{eq:piFcTransfapendice} e $G(z)$ é função
de transferência do Sistema Xen dada pela Equação~\ref{eq:xenSystemTransferFunctionapendice}.
%
\begin{equation}
 K(z)=\frac{U(z)}{E(z)}=\frac{(K_p + K_i)z - K_p}{z-1}.
 \label{eq:piFcTransfapendice}
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
  G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b}{z-a}.
 \label{eq:xenSystemTransferFunctionapendice}
\end{equation}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{./figuras/tcmSemRegulador.eps}
\caption{Diagrama de blocos do XTC sem o Regulador Autoajustável.}
\label{fig:tcmSemRegulador}
\end{figure}

Sabe-se que a função de transferência de um sistema como o da Figura~\ref{fig:tcmSemRegulador} é dada pela Equação~\ref{eq:closedLoop}:
%
\begin{equation}
  F(z)=\frac{Y(z)}{R(z)}=\frac{K(z)G(z)}{1+K(z)G(z)}.
 \label{eq:closedLoop}
\end{equation}
%
Substituindo $K(z)$ e $G(z)$ pelas respectivas funções de transferência obtém-se a Equação~\ref{eq:closeLoopSubst}:
%
\begin{equation}
  F(z)=\frac{\frac{(K_p + K_i)z - K_p}{z-1}\frac{b}{z-a}}{1+\frac{(K_p + K_i)z - K_p}{z-1}\frac{b}{z-a}}.
 \label{eq:closeLoopSubst}
\end{equation}
%
Simplificando a Equação~\ref{eq:closeLoopSubst}, obtém-se a função de transferência $F(z)$ do sistema completo
dada pela Equação~\ref{eq:completeSystemTransferFunctionapendice}:
%
\begin{equation}
  F(z)=\frac{Y(z)}{R(z)}=\frac{z(K_p + K_i)b - K_pb}{z^2 + z[(K_p + K_i)b - (a + 1)] + (a - K_pb)}.
 \label{eq:completeSystemTransferFunctionapendice}
\end{equation}

\section{Cálculo dos Parâmetros do Controlador}

O projeto do sistema consiste na escolha dos parâmetros $K_p$ e $K_i$ da Equação~\ref{eq:completeSystemTransferFunctionapendice} referentes ao Controlador PI.
Nesse trabalho utilizou-se o método de posicionamento dos pólos~\cite{hellerstein2004feedback} para a escolha desses parâmetros.
Nesse método deseja-se posicionar os pólos do sistema realimentado de forma que esse seja estável e atenda os requisitos de tempo de assentamento e máximo
\textit{overshoot}. Assume-se que os pólos de um sistema como o da Equação~\ref{eq:completeSystemTransferFunctionapendice} são números complexos conjugados, podendo ser escritos da forma
exponencial dada por $re^{\pm j\theta}$, onde $r$ é o módulo dos pólos e $\theta$ o ângulo que fazem no plano complexo. Os valores $r$ e $\theta$ devem ser escolhidos
de forma a satisfazer às três propriedades abaixo, como demonstrado em~\cite{hellerstein2004feedback}:
\begin{itemize}
 \item \textbf{Tempo de resposta}: Para um tempo de assentamento desejado de $k_s$ amostras, o valor de $r$ deverá ser tal que
 \begin{equation}
    r=e^{-4/k_s};
    \label{eq:r}
 \end{equation}
 \item \textbf{Máximo \textit{Overshoot}}: Para um máximo \textit{overshoot} desejado $M_p$, o valor de $\theta$ em radianos deverá ser tal que
 \begin{equation}
    \theta=\pi \frac{\log{r}}{\log{M_p}};
    \label{eq:theta}
 \end{equation}
 \item \textbf{Estabilidade}: Para o sistema ser estável os pólos devem estar dentro do círculo unitário, ou seja
 \begin{equation}
    r<1.
    \label{eq:estabilidade}
 \end{equation}

\end{itemize}

Após definido o valor  de $r$ e $\theta$ para satisfazer as propriedades acima, é necessário escolher os valores de $K_p$ e $K_i$ de forma que
o sistema realimentado possua esses pólos. Os pólos do sistema são as raízes do denominador de sua função de transferência $F(z)$,
como a da Equação~\ref{eq:completeSystemTransferFunctionapendice}, e esses pólos são complexo conjugados. Para o sistema possuir
os pólos $re^{\pm j\theta}$, seu denominador deve ser então o polinômio característico dado por:
%
 \begin{equation}
    (z-re^{j\theta})(z-re^{-j\theta})=z^2-2r\cos(\theta)z+r^2.
    \label{eq:polinomioCaracteristico}
 \end{equation}

O denominador da Equação~\ref{eq:completeSystemTransferFunctionapendice} deverá ser então igualado ao polinômio característico da Equação~\ref{eq:polinomioCaracteristico}
a fim de calcular $K_p$ e $K_i$, ou seja:
%
 \begin{equation}
    z^2-2r\cos(\theta)z+r^2=z^2 + [(K_p + K_i)b - (a + 1)]z + (a - K_pb).
    \label{eq:polinomioCaracteristicoIgualDen}
 \end{equation}
A partir da relação acima são encontrados as seguinte relações para os valores de $K_p$ e $K_i$:
%
 \begin{equation}
    K_p=\frac{(a-r^2)}{b},
    \label{eq:kp}
 \end{equation}
 \begin{equation}
    K_p + K_i=\frac{(a+1)-2r\cos(\theta)}{b}.
    \label{eq:kpki}
 \end{equation}
%

\subsection{Cálculo dos parâmetros do exemplo}
A partir do exemplo de encaminhamento de pacotes a 100~kp/s, utilizado no Capítulo~\ref{sec:xtc}, são calculados os valores de $K_p$ e $K_i$ utilizados nos experimentos. Como foi
definido na Seção~\ref{sec:projeto}, é desejado que o posicionamento dos pólos leve os sistema às propriedades
de tempo de assentamento de 5 amostras ($k_s=5$) e máximo \textit{overshoot} de 8\% ($M_p=0,08$). Assim, calculando os valores de $r$ e $\theta$ a partir
das Equações~\ref{eq:r}~e~\ref{eq:theta} tem-se $r=0,449$ e $\theta=0,995$ radianos. O valor de $r$ encontrado também satisfaz a propriedade da Equação~\ref{eq:estabilidade}.
Substituindo os valores de $r$ e $\theta$ nas Equações~\ref{eq:kp}~e~\ref{eq:kpki}
e utilizando os parâmetros do modelo da Seção~\ref{sec:modelagem} $a=0,0915$ e $b=32259$, obtém-se $K_p=-3,4\times10^{-6}$ e $K_i=22,1\times10^{-6}$.


