Cálculos realizados sobre números reais são lentos e imprecisos,
devido ao erro de arredondamento. Aplicações de criptografia requerem
cálculos rápidos e precisos. Além disso, uma propriedade essencial para a
criptografia é a finitude do conjunto de pontos, assim curvas elípticas sobre
corpos inteiros finitos são utilizadas na prática. Nesta seção será abordado
o uso de curvas elípticas sobre corpos finitos primos (FP) e na seção
seguinte curvas elípticas sobre corpos de característica dois (F2m).
O campo FP é definido pelos números inteiros de 0 a p - 1, e todas
operações são finalizadas calculando-se o resto da divisão por p. Uma curva
elíptica sobre o campo Fp é definida é definida pelo conjunto de pontos (x,y)
que satisfaz equação a seguir:
y2 mod p = (x3 + ax + b) mod p, onde a e b são constantes que
pertencem ao FP, assim como as variáveis x e y.
Se o polinômio x³ + ax + b não contém fatores repetidos ou de
forma equivalente se (4a³ + 27b²) mod p é diferente de zero, então a
curva elíptica y² = x³ + ax + b pode ser usado para formar um grupo. O
grupo é formado pelos pontos definidos pela curva elíptica juntamente com
o ponto no infinito, O.
A seguir, segue um exemplo de curva elíptica sobre o campo F23.
Considerando a = 1 e b = 0, a seguinte equação é estabelecida:
y2 mod p = (x3 + x) mod p
Os 23 pontos que satisfazem a esta equação são:
(0,0) (1,5) (1,18) (9,5) (9,18) (11,10) (11,13) (13,5) (13,18)
(15,3)
(15,20) (16,8) (16,15) (17,10) (17,13) (18,10) (18,13) (19,1)
(19,22)
(20,4) (20,19) (21,6) (21,17)
Repare que há dois pontos para valor de x. Apesar do gráfico possuir
uma aparência aleatória, há uma simetria em torno de y = 11,5
aproximadamente. Curvas elípticas sobre os números reais apresentam um
ponto negativo (reflexão em torno do eixo-x para todo ponto da curva).
Sobre o campo F23, as componentes negativas dos valores de y são
tomadas módulo 23, resultando em um número positivo. Sendo assim, o
negativo de P = (xP, yP) é definido como -P = (xP, (-yP mod 23)).
